Дериват это: Значение слова ДЕРИВАТ. Что такое ДЕРИВАТ?

Содержание

ДЕРИВАТ — это… Что такое ДЕРИВАТ?

  • Дериват — (лат. derivatum  «производное»): в финансах: Дериват  производный финансовый инструмент в лингвистике (словообразование): Дериват  производное слово в биохимии: Дериват  веществo, происходящeе в процессе биохимических… …   Википедия

  • ДЕРИВАТ — [дэ], деривата, муж. (лат. derivatus произведенный) (научн.). Предмет, возникающий на основе другого; производное от чего нибудь первичного. Нитробензол есть дериват бензола. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

  • дериват — договор, производное Словарь русских синонимов. дериват сущ., кол во синонимов: 2 • договор (49) • …   Словарь синонимов

  • Дериват — от лат. derivatus отведенный опцион или фьючерс, базирующийся на курсах валют, ценных бумаг, ценах товаров с правом владельца зафиксировать выгодную ему цену на покупки продажи. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 …   Словарь бизнес-терминов

  • ДЕРИВАТ — (от лат. derivatus отведенный) договор (опцион, фьючерс), основанный на курсах валют, ценных бумаг, товаров; позволяет владельцу зафиксировать благоприятную, с его точки зрения, цену на покупку (продажу). Райзберг Б.А., Лозовский Л.Ш.,… …   Экономический словарь

  • Дериват — означает естественно встречающееся биохимическое соединение, являющееся результатом генетической экспрессии или метаболизма биологических или генетических ресурсов, даже если он не содержит функциональных единиц наследственности… Источник:… …   Официальная терминология

  • Дериват —    (от лат. derivatus отведенный) производное от чего то ранее существовавшего:    ஐ Если бы кто нибудь захотел более глубоко проанализировать подобные тексты, он должен был бы сначала выделить их дериваты, их простые, первоначальные ядра и… …   Мир Лема — словарь и путеводитель

  • ДЕРИВАТ — (лат. derivatus отведенный) договор ( опцион, фьючерс), основанный на курсах валют, ценных бумаг, товаров. Д. позволяет владельцу зафиксировать благоприятную, с его точки зрения, цену на покупку (продажу) …   Энциклопедический словарь экономики и права

  • Дериват — I м. Жидкий или газообразный продукт последних стадий процесса дифференциации магмы (в геологии). II м. Производное слово как результат деривации [деривация I] (в лингвистике). Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 …   Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

  • дериват — дериват, дериваты, деривата, дериватов, деривату, дериватам, дериват, дериваты, дериватом, дериватами, деривате, дериватах (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») …   Формы слов

  • дериват — Викисловарь

    Морфологические и синтаксические свойства[править]

    падежед. ч.мн. ч.
    Им.дерива́тдерива́ты
    Р.дерива́тадерива́тов
    Д.дерива́тудерива́там
    В.дерива́тдерива́ты
    Тв.дерива́томдерива́тами
    Пр.дерива́тедерива́тах

    де-ри-ва́т

    Существительное, неодушевлённое, мужской род, 2-е склонение (тип склонения 1a по классификации А. А. Зализняка).

    Корень: -дерив-; суффикс: -ат [Тихонов, 1996].

    Произношение[править]

    Семантические свойства[править]

    Значение[править]
    1. научн. предмет, возникающий на основе другого; производное от чего-либо первичного ◆ Актовегин является депротеинизирующим гемодериватом из крови телят с низкомолекулярными пептидами и дериватами нуклеиновых кислот. Е. Григорьев, ‎Ю. Чурляев, «Тяж`лая черепно-мозговая травма», 2006 г. ◆ Нитробензол есть дериват бензола.
    2. лингв. производное слово ◆ К парадигматическим критериям следует также отнести наличие у слова в разных значениях разных конверсивов и дериватов, но и эти критерии также оказываются относительными. Энциклопедия «Кругосвет», «Полисемия»
    3. фин. производный финансовый инструмент ◆ Отсутствует пример употребления (см. рекомендации).
    Синонимы[править]
    1. производное
    2.  —
    3. дериватив
    Антонимы[править]
    1.  —
    2.  —
    Гиперонимы[править]
    1.  —
    2.  —
    Гипонимы[править]
    1.  —
    2.  —

    Родственные слова[править]

    Этимология[править]

    Происходит от лат. dērīvātus «произведённый».

    Фразеологизмы и устойчивые сочетания[править]

    Перевод[править]

    Список переводов

    Библиография[править]

    Interrobang.svg Для улучшения этой статьи желательно:

    • Добавить примеры словоупотребления для всех значений с помощью {{пример}}
    • Добавить все семантические связи (отсутствие можно указать прочерком, а неизвестность — символом вопроса)
    • Добавить хотя бы один перевод в секцию «Перевод»

    ДЕРИВАТ — это… Что такое ДЕРИВАТ?

  • Дериват — (лат. derivatum  «производное»): в финансах: Дериват  производный финансовый инструмент в лингвистике (словообразование): Дериват  производное слово в биохимии: Дериват  веществo, происходящeе в процессе биохимических… …   Википедия

  • ДЕРИВАТ — [лат. derivatus отведенный] лингв. производное слово (напр., «напиток» …   Словарь иностранных слов русского языка

  • дериват — договор, производное Словарь русских синонимов. дериват сущ., кол во синонимов: 2 • договор (49) • …   Словарь синонимов

  • Дериват — от лат. derivatus отведенный опцион или фьючерс, базирующийся на курсах валют, ценных бумаг, ценах товаров с правом владельца зафиксировать выгодную ему цену на покупки продажи. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 …   Словарь бизнес-терминов

  • ДЕРИВАТ — (от лат. derivatus отведенный) договор (опцион, фьючерс), основанный на курсах валют, ценных бумаг, товаров; позволяет владельцу зафиксировать благоприятную, с его точки зрения, цену на покупку (продажу). Райзберг Б.А., Лозовский Л.Ш.,… …   Экономический словарь

  • Дериват — означает естественно встречающееся биохимическое соединение, являющееся результатом генетической экспрессии или метаболизма биологических или генетических ресурсов, даже если он не содержит функциональных единиц наследственности… Источник:… …   Официальная терминология

  • Дериват —    (от лат. derivatus отведенный) производное от чего то ранее существовавшего:    ஐ Если бы кто нибудь захотел более глубоко проанализировать подобные тексты, он должен был бы сначала выделить их дериваты, их простые, первоначальные ядра и… …   Мир Лема — словарь и путеводитель

  • ДЕРИВАТ — (лат. derivatus отведенный) договор ( опцион, фьючерс), основанный на курсах валют, ценных бумаг, товаров. Д. позволяет владельцу зафиксировать благоприятную, с его точки зрения, цену на покупку (продажу) …   Энциклопедический словарь экономики и права

  • Дериват — I м. Жидкий или газообразный продукт последних стадий процесса дифференциации магмы (в геологии). II м. Производное слово как результат деривации [деривация I] (в лингвистике). Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 …   Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

  • дериват — дериват, дериваты, деривата, дериватов, деривату, дериватам, дериват, дериваты, дериватом, дериватами, деривате, дериватах (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») …   Формы слов

  • Значение слова «дериват» в 6 словарях



    существительное

    Значение слова дериват



    Все словари
    Словарь Ушакова
    Современный экономический словарь. 1999
    Словарь лингвистических терминов
    Словарь экономических терминов
    Мир Лема — словарь и путеводитель
    Словарь Ефремовой

    Словарь Ушакова

    дериват

    дериват [дэ], деривата, муж. (лат. derivatus — произведенный) (научн.). Предмет, возникающий на основе другого; производное от чего-нибудь первичного. Нитробензол есть дериват бензола.

    Современный экономический словарь. 1999

    дериват

    (от лат. derivatus — отведенный)

    договор (опцион, фьючерс), основанный на курсах валют, ценных бумаг, товаров; позволяет владельцу зафиксировать благоприятную, с его точки зрения, цену на покупку (продажу).

    Словарь лингвистических терминов

    дериват

    (лат. derivatus — отведенный). Производное слово.

    Словарь экономических терминов

    дериват

    (от лат. derivatus — отведенный)

    договор (опцион, фьючерс), основанный на курсах валют, ценных бумаг, товаров; позволяет владельцу зафиксировать благоприятную, с его точки зрения, цену на покупку (продажу).

    Мир Лема — словарь и путеводитель

    дериват

    (от лат. derivatus — отведенный) производное от чего-то ранее существовавшего:

    * «Если бы кто-нибудь захотел более глубоко проанализировать подобные тексты, он должен был бы сначала выделить их дериваты, их простые, первоначальные ядра и осуществить с ними различные манипуляции, исследуя, как это повлияет на повествование в целом». — Фантастика и футурология *

    * «Фирма IVM (International Visionary Machines) изготовила и распространяет на рынке образцы новых машин, производящих CYBERSPACE, которые, благодаря применению компьютеров 19-го поколения, располагают параллельной вычислительной мощностью порядка 10 в 19-ой степени бит и могут внутри виртуальной реальности организовать следующую виртуальную реальность, та, в свою очередь, может создать еще третий дериват ВР». — Питавалы XXI века *

    Словарь Ефремовой

    дериват

    1. м.
      1. Производное от чего-л. первичного; продукт чего-л.
      2. Производное слово (в лингвистике).

    Добавить свое значение

    Значения слов синонимов к слову дериват

    Синонимы к слову дериват


    • договор

    • производное


    • производный

    • производная

    Однокоренные слова к слову дериват


    • дериватив

    • дериватор


    • деривационный

    • деривация


    • дериватология

    ДЕРИВАТ — это… Что такое ДЕРИВАТ?

  • Дериват — (лат. derivatum  «производное»): в финансах: Дериват  производный финансовый инструмент в лингвистике (словообразование): Дериват  производное слово в биохимии: Дериват  веществo, происходящeе в процессе биохимических… …   Википедия

  • ДЕРИВАТ — [лат. derivatus отведенный] лингв. производное слово (напр., «напиток» …   Словарь иностранных слов русского языка

  • ДЕРИВАТ — [дэ], деривата, муж. (лат. derivatus произведенный) (научн.). Предмет, возникающий на основе другого; производное от чего нибудь первичного. Нитробензол есть дериват бензола. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

  • дериват — договор, производное Словарь русских синонимов. дериват сущ., кол во синонимов: 2 • договор (49) • …   Словарь синонимов

  • Дериват — от лат. derivatus отведенный опцион или фьючерс, базирующийся на курсах валют, ценных бумаг, ценах товаров с правом владельца зафиксировать выгодную ему цену на покупки продажи. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 …   Словарь бизнес-терминов

  • Дериват — означает естественно встречающееся биохимическое соединение, являющееся результатом генетической экспрессии или метаболизма биологических или генетических ресурсов, даже если он не содержит функциональных единиц наследственности… Источник:… …   Официальная терминология

  • Дериват —    (от лат. derivatus отведенный) производное от чего то ранее существовавшего:    ஐ Если бы кто нибудь захотел более глубоко проанализировать подобные тексты, он должен был бы сначала выделить их дериваты, их простые, первоначальные ядра и… …   Мир Лема — словарь и путеводитель

  • ДЕРИВАТ — (лат. derivatus отведенный) договор ( опцион, фьючерс), основанный на курсах валют, ценных бумаг, товаров. Д. позволяет владельцу зафиксировать благоприятную, с его точки зрения, цену на покупку (продажу) …   Энциклопедический словарь экономики и права

  • Дериват — I м. Жидкий или газообразный продукт последних стадий процесса дифференциации магмы (в геологии). II м. Производное слово как результат деривации [деривация I] (в лингвистике). Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 …   Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

  • дериват — дериват, дериваты, деривата, дериватов, деривату, дериватам, дериват, дериваты, дериватом, дериватами, деривате, дериватах (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») …   Формы слов

  • Дериват — это… Что такое Дериват?

  • Дериват — (лат. derivatum  «производное»): в финансах: Дериват  производный финансовый инструмент в лингвистике (словообразование): Дериват  производное слово в биохимии: Дериват  веществo, происходящeе в процессе биохимических… …   Википедия

  • ДЕРИВАТ — [лат. derivatus отведенный] лингв. производное слово (напр., «напиток» …   Словарь иностранных слов русского языка

  • ДЕРИВАТ — [дэ], деривата, муж. (лат. derivatus произведенный) (научн.). Предмет, возникающий на основе другого; производное от чего нибудь первичного. Нитробензол есть дериват бензола. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

  • дериват — договор, производное Словарь русских синонимов. дериват сущ., кол во синонимов: 2 • договор (49) • …   Словарь синонимов

  • Дериват — от лат. derivatus отведенный опцион или фьючерс, базирующийся на курсах валют, ценных бумаг, ценах товаров с правом владельца зафиксировать выгодную ему цену на покупки продажи. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 …   Словарь бизнес-терминов

  • ДЕРИВАТ — (от лат. derivatus отведенный) договор (опцион, фьючерс), основанный на курсах валют, ценных бумаг, товаров; позволяет владельцу зафиксировать благоприятную, с его точки зрения, цену на покупку (продажу). Райзберг Б.А., Лозовский Л.Ш.,… …   Экономический словарь

  • Дериват — означает естественно встречающееся биохимическое соединение, являющееся результатом генетической экспрессии или метаболизма биологических или генетических ресурсов, даже если он не содержит функциональных единиц наследственности… Источник:… …   Официальная терминология

  • Дериват —    (от лат. derivatus отведенный) производное от чего то ранее существовавшего:    ஐ Если бы кто нибудь захотел более глубоко проанализировать подобные тексты, он должен был бы сначала выделить их дериваты, их простые, первоначальные ядра и… …   Мир Лема — словарь и путеводитель

  • ДЕРИВАТ — (лат. derivatus отведенный) договор ( опцион, фьючерс), основанный на курсах валют, ценных бумаг, товаров. Д. позволяет владельцу зафиксировать благоприятную, с его точки зрения, цену на покупку (продажу) …   Энциклопедический словарь экономики и права

  • Дериват — I м. Жидкий или газообразный продукт последних стадий процесса дифференциации магмы (в геологии). II м. Производное слово как результат деривации [деривация I] (в лингвистике). Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 …   Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

  • дериват — дериват, дериваты, деривата, дериватов, деривату, дериватам, дериват, дериваты, дериватом, дериватами, деривате, дериватах (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») …   Формы слов

  • Дериват — это… Что такое Дериват?

  • Дериват — (лат. derivatum  «производное»): в финансах: Дериват  производный финансовый инструмент в лингвистике (словообразование): Дериват  производное слово в биохимии: Дериват  веществo, происходящeе в процессе биохимических… …   Википедия

  • ДЕРИВАТ — [лат. derivatus отведенный] лингв. производное слово (напр., «напиток» …   Словарь иностранных слов русского языка

  • ДЕРИВАТ — [дэ], деривата, муж. (лат. derivatus произведенный) (научн.). Предмет, возникающий на основе другого; производное от чего нибудь первичного. Нитробензол есть дериват бензола. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

  • дериват — договор, производное Словарь русских синонимов. дериват сущ., кол во синонимов: 2 • договор (49) • …   Словарь синонимов

  • Дериват — от лат. derivatus отведенный опцион или фьючерс, базирующийся на курсах валют, ценных бумаг, ценах товаров с правом владельца зафиксировать выгодную ему цену на покупки продажи. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 …   Словарь бизнес-терминов

  • ДЕРИВАТ — (от лат. derivatus отведенный) договор (опцион, фьючерс), основанный на курсах валют, ценных бумаг, товаров; позволяет владельцу зафиксировать благоприятную, с его точки зрения, цену на покупку (продажу). Райзберг Б.А., Лозовский Л.Ш.,… …   Экономический словарь

  • Дериват — означает естественно встречающееся биохимическое соединение, являющееся результатом генетической экспрессии или метаболизма биологических или генетических ресурсов, даже если он не содержит функциональных единиц наследственности… Источник:… …   Официальная терминология

  • ДЕРИВАТ — (лат. derivatus отведенный) договор ( опцион, фьючерс), основанный на курсах валют, ценных бумаг, товаров. Д. позволяет владельцу зафиксировать благоприятную, с его точки зрения, цену на покупку (продажу) …   Энциклопедический словарь экономики и права

  • Дериват — I м. Жидкий или газообразный продукт последних стадий процесса дифференциации магмы (в геологии). II м. Производное слово как результат деривации [деривация I] (в лингвистике). Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 …   Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

  • дериват — дериват, дериваты, деривата, дериватов, деривату, дериватам, дериват, дериваты, дериватом, дериватами, деривате, дериватах (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») …   Формы слов

  • 90000 Introduction to Derivatives 90001

    90002 It is all about slope! 90003
    90004
    90005
    90006 90002 Slope = 90008 Change in Y 90009 90010 Change in X 90011 90003 90013
    90006 90013
    90006 90013
    90018
    90019
    90002 90003
    90004
    90005
    90006 90002 We can find an 90026 average 90027 slope between two points. 90003
    90002 90003 90013
    90006 90013
    90006 90013
    90018
    90005
    90006 90002 But how do we find the slope 90026 at a point 90027? 90003
    90002 There is nothing to measure! 90003 90013
    90006 90013
    90006 90013
    90018
    90005
    90006 90002 But with derivatives we use a small difference… 90003
    90002 … then have it 90026 shrink towards zero 90027. 90003 90013
    90006 90013
    90006 90013
    90018
    90019
    90066 Let us Find a Derivative! 90067
    90002 To find the derivative of a function y = f (x) we use the slope formula: 90003
    90002 Slope =
    90008 Change in Y 90009
    90010 Change in X 90011
    = 90008 Δy 90009 90010 Δx 90011 90003
    90002 90003
    90002 And (from the diagram) we see that: 90003
    90084
    90005
    90006 x changes from 90013
    90006 90013
    90090 x 90013
    90090 to 90013
    90090 x + Δx 90013
    90018
    90005
    90006 y changes from 90013
    90006 90013
    90090 f (x) 90013
    90090 to 90013
    90090 f (x + Δx) 90013
    90018
    90019
    90002 Now follow these steps: 90003
    90112
    90113 Fill in this slope formula:
    90008 Δy 90009 90010 Δx 90011 = 90008 f (x + Δx) — f (x) 90009 90010 Δx 90011 90122
    90113 Simplify it as best we can 90122
    90113 Then make 90026 Δx 90027 shrink towards zero.90122
    90129

    90002 Like this: 90003

    90132 Example: the function 90026 f (x) = x 90134 2 90135 90027 90137
    90002 We know 90026 f (x) = x 90134 2 90135 90027, and we can calculate 90026 f (x + Δx) 90027: 90003
    90146
    90005
    90148 Start with: 90013
    90006 90013
    90006 90026 f (x + Δx) = (x + Δx) 90134 2 90135 90027 90013
    90018
    90005
    90148 Expand (x + Δx) 90134 2 90135: 90013
    90006 90013
    90006 90026 f (x + Δx) = x 90134 2 90135 + 2x Δx + (Δx) 90134 2 90135 90027 90013
    90018
    90019

    90002 90003

    90002 The slope formula is:
    90008 f (x + Δx) — f (x) 90009
    90010 Δx 90011
    90003
    90002 Put in 90026 f (x + Δx) 90027 and 90026 f (x) 90027:
    90008 x 90134 2 90135 + 2x Δx + (Δx) 90134 2 90135 — x 90134 2 90135 90009
    90010 Δx 90011
    90003
    90002 Simplify (x 90134 2 90135 and -x 90134 2 90135 cancel):
    90008 2x Δx + (Δx) 90134 2 90135 90009
    90010 Δx 90011
    90003
    90002 Simplify more (divide through by Δx): = 2x + Δx 90003
    90002 Then 90026 as Δx 90027 90026 heads towards 0 90027 we get: = 2x 90003

    90002 90003
    90002 Result: the derivative of 90026 x 90134 2 90135 90027 is 90026 2x 90027 90003
    90002 In other words, the slope at x is 90026 2x 90027 90003

    90002 90003
    90002 We write 90026 dx 90027 instead of 90026 «Δx 90027 90026 heads towards 0» 90027.90003
    90002 And «the derivative of» is commonly written: 90003
    90002 x 90134 2 90135 = 2x 90249 90250 «The derivative of 90026 x 90134 2 90135 90027 equals 90026 2x 90027» 90257 90249 or simply 90250 «d dx of 90026 x 90134 2 90135 90027 equals 90026 2x 90027» 90257 90003
    90002 90003
    90132 What does x 90134 2 90135 = 2x mean? 90137
    90002 It means that, for the function x 90134 2 90135, the slope or «rate of change» at any point is 90026 2x 90027. 90003
    90002 So when 90026 x = 2 90027 the slope is 90026 2x = 4 90027, as shown here: 90003
    90002 Or when 90026 x = 5 90027 the slope is 90026 2x = 10 90027, and so on.90003

    90002 Note: sometimes f ‘(x) is also used for «the derivative of»: 90003
    90002 f ‘(x) = 2x 90249 90250 «The derivative of f (x) equals 2x» 90257 90249 or simply 90250 «f-dash of x equals 2x» 90257 90003

    90002 90003
    90002 Let’s try another example. 90003

    90132 Example: What is x 90134 3 90135? 90137
    90002 We know 90026 f (x) = x 90134 3 90135 90027, and can calculate 90026 f (x + Δx) 90027: 90003
    90146
    90005
    90148 Start with: 90013
    90006 90013
    90006 90026 f (x + Δx) = (x + Δx) 90134 3 90135 90027 90013
    90018
    90005
    90148 Expand (x + Δx) 90134 3 90135: 90013
    90006 90013
    90338 90026 f (x + Δx) = x 90134 3 90135 + 3x 90134 2 90135 Δx + 3x (Δx) 90134 2 90135 + (Δx) 90134 3 90135 90027 90013
    90018
    90019

    90002 90003

    90002 The slope formula:
    90008 f (x + Δx) — f (x) 90009
    90010 Δx 90011
    90003
    90002 Put in 90026 f (x + Δx) 90027 and 90026 f (x) 90027:
    90008 x 90134 3 90135 + 3x 90134 2 90135 Δx + 3x (Δx) 90134 2 90135 + (Δx) 90134 3 90135 — x 90134 3 90135 90009
    90010 Δx 90011
    90003
    90002 Simplify (x 90134 3 90135 and -x 90134 3 90135 cancel):
    90008 3x 90134 2 90135 Δx + 3x (Δx) 90134 2 90135 + (Δx) 90134 3 90135 90009
    90010 Δx 90011
    90003
    90002 Simplify more (divide through by Δx): = 3x 90134 2 90135 + 3x Δx + (Δx) 90134 2 90135 90003
    90002 Then 90026 as Δx 90027 90026 heads towards 0 90027 we get: = 3x 90134 2 90135 90003

    90002 90003
    90002 Result: the derivative of 90026 x 90134 3 90135 90027 is 90026 3x 90134 2 90135 90027 90003

    90002 Have a play with it using the Derivative Plotter.90003
    90002 90003
    90066 Derivatives of Other Functions 90067
    90002 We can use the same method to work out derivatives of other functions (like sine, cosine, logarithms, etc). 90003
    90002 90003

    90132 Example: what is the derivative of sin (x)? 90137
    90002 On Derivative Rules it is listed as being 90026 cos (x) 90027 90003
    90002 Done. 90003

    90002 Using the rules can be tricky! 90003

    90132 Example: what is the derivative of cos (x) sin (x)? 90137
    90002 You can not just find the derivative of cos (x) and multiply it by the derivative of sin (x)… you must use the «Product Rule» as explained on the Derivative Rules page. 90003
    90002 It actually works out to be 90026 cos 90134 2 90135 (x) — sin 90134 2 90135 (x) 90027 90003

    90002 So that is your next step: learn how to use the rules. 90003
    90002 90003

    90066 Notation 90067
    90002 «Shrink towards zero» is actually written as a limit like this: 90003
    90002 90249 «The derivative of 90026 f 90027 equals 90026 the limit as Δx goes to zero 90027 of f (x + Δx) — f (x) over Δx» 90249 90003
    90002 90003
    90002 Or sometimes the derivative is written like this (explained on Derivatives as dy / dx): 90003
    90474 90003
    90002 90003
    90002 The process of finding a derivative is called «differentiation».90003

    90002 You 90026 do 90027 differentiation … to 90026 get 90027 a derivative. 90003

    90066 Where to Next? 90067
    90002 Go and learn how to find derivatives using Derivative Rules, and get plenty of practice: 90003
    90002

    90003

    .90000 Derivative (mathematics) — Simple English Wikipedia, the free encyclopedia 90001 90002 A function (black) and a tangent (red). The derivative at the point is the slope of the tangent.
    90003 In mathematics, the 90004 derivative 90005 is a way to show rate of change: that is, the amount by which a function is changing at one given point. For functions that act on the real numbers, it is the slope of the tangent line at a point on a graph. The derivative is often written using «dy over dx» (meaning the 90004 difference 90005 in y divided by the 90004 difference 90005 in x).The 90010 d 90011 is not a variable, and therefore can not be cancelled out.
    90012
    90013 90014 The derivative can be expressed as:

    d
    y

    d
    x

    {\ Displaystyle {\ frac {dy} {dx}}}

    90015 90016

    An animation, that gives an intuitive idea of ​​the derivative, as the «swing» of a function change when the argument changes.90003 The derivative of y with respect to x is defined as the change in y over the change in x, as the distance between

    x

    0

    {\ Displaystyle x_ {0}}

    and

    x

    1

    {\ Displaystyle x_ {1}}

    becomes infinitely small (infinitesimal). In mathematical terms,
    90012
    90013 90014

    f

    (
    a
    )
    =

    lim

    h

    0

    f
    (
    a
    +
    h
    )

    f
    (
    a
    )

    h

    {\ Displaystyle f ‘(a) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a + h) -f (a)} {h}}}

    90015 90016
    90003 That is, as the distance between the two x points (h) becomes closer to zero, the slope of the line between them comes closer to resembling a tangent line.90012

    90025 Linear functions [change | change source] 90026
    90003 Derivatives of linear functions (functions of the form

    a
    x
    +
    b

    {\ Displaystyle ax + b}

    with no quadratic or higher terms) are constant. That is, the derivative in one spot on the graph will remain the same on another.
    90012 90003 When the dependent variable

    y

    {\ Displaystyle y}

    directly takes

    x

    {\ Displaystyle x}

    ‘S value (

    y
    =
    x

    {\ Displaystyle y = x}

    ), The slope of the line is 1 in all places, so

    d

    d
    x

    (
    x
    )
    =
    1

    {\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} (x) = 1}

    regardless of where the position is.90012 90003 When

    y

    {\ Displaystyle y}

    modifies

    x

    {\ Displaystyle x}

    ‘S number by adding or subtracting a constant value, the slope is still 1 because the change in

    x

    {\ Displaystyle x}

    and

    y

    {\ Displaystyle y}

    do not change if the graph is shifted up or down. That is, the slope is still 1 throughout the entire graph and its derivative is also 1.{A}}

    ) Behave differently from linear functions because their slope varies (because they have an exponent).
    90012 90003 Power functions, in general, follow the rule that

    d

    d
    x

    x

    a

    =
    a

    x

    a

    1

    {\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {a} = ax ^ {a-1}}

    .{5}}

    90012 90003 Another possibly not so obvious example is the function

    f
    (
    x
    )
    =

    1
    x

    {\ Displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}

    . This is essentially the same because 1 / x can be simplified to use exponents:
    90012
    90013 90014

    f
    (
    x
    )
    =

    1
    x

    =

    x


    1

    {\ Displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}} = x ^ {- 1}}

    90015
    90014

    f

    (
    x
    )
    =

    1
    (

    x


    2

    )

    {\ Displaystyle f ‘(x) = — 1 (x ^ {- 2})}

    90015
    90014

    f

    (
    x
    )
    =

    1

    x

    2

    {\ Displaystyle f ‘(x) = — {\ frac {1} {x ^ {2}}}}

    90015 90016
    90003 In addition, roots can be changed to use fractional exponents where their derivative can be found:
    90012
    90013 90014

    f
    (
    x
    )
    =

    x

    2

    3

    =

    x

    2
    3

    {\ Displaystyle f (x) = {\ sqrt [{3}] {x ^ {2}}} = x ^ {\ frac {2} {3}}}

    90015
    90014

    f

    (
    x
    )
    =

    2
    3

    (

    x

    1
    3

    )

    {\ Displaystyle f ‘(x) = {\ frac {2} {3}} (x ^ {- {\ frac {1} {3}}})}

    90015 90016
    90025 Exponential functions [change | change source] 90026
    90003 An exponential is of the form

    a

    b

    f

    (
    x
    )

    {\ Displaystyle ab ^ {f \ left (x \ right)}}

    where

    a

    {\ Displaystyle a}

    and

    b

    {\ Displaystyle b}

    are constants and

    f
    (
    x
    )

    {\ Displaystyle f (x)}

    is a function of

    x

    {\ Displaystyle x}

    .The difference between an exponential and a polynomial is that in a polynomial

    x

    {\ Displaystyle x}

    is raised to some power whereas in an exponential

    x

    {\ Displaystyle x}

    is in the power.
    90012
    90061 Example 1 [change | change source] 90062
    90003

    d

    d
    x

    (

    a

    b

    f

    (
    x
    )

    )

    =
    a

    b

    f
    (
    x
    )

    f

    (
    x
    )


    ln

    (
    b
    )

    {\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (ab ^ {f \ left (x \ right)} \ right) = ab ^ {f (x)} \ cdot f ‘\ left (x \ right ) \ cdot \ ln (b)}

    90012
    90061 Example 2 [change | change source] 90062
    90003 Find

    d

    d
    x

    (

    3

    2

    3

    x

    2

    )

    {\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (3 \ cdot 2 ^ {3 {x ^ {2}}} \ right)}

    .{2}}

    90012 90003

    f

    (
    x
    )

    =
    6
    x

    {\ Displaystyle f ‘\ left (x \ right) = 6x}

    90012 90003 Therefore,
    90012 90003

    d

    d
    x

    (

    3

    2

    3

    x

    2

    )

    =
    3

    2

    3

    x

    2


    6
    x

    ln

    (
    2
    )

    =
    ln

    (
    2
    )


    18
    x

    2

    3

    x

    2

    {\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (3 \ cdot 2 ^ {3x ^ {2}} \ right) = 3 \ cdot 2 ^ {3x ^ {2}} \ cdot 6x \ cdot \ ln \ left (2 \ right) = \ ln \ left (2 \ right) \ cdot 18x ​​\ cdot 2 ^ {3x ^ {2}}}

    90012
    90025 Logarithmic functions [change | change source] 90026
    90003 The derivative of logarithms is the reciprocal:
    90012
    90013 90014

    d

    d
    x

    ln

    (
    x
    )
    =

    1
    x

    {\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ ln (x) = {\ frac {1} {x}}}

    .90015 90016
    90003 Take, for example,

    d

    d
    x

    ln

    (

    5
    x

    )

    {\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ ln \ left ({\ frac {5} {x}} \ right)}

    . This can be reduced to (by the properties of logarithms):
    90012
    90013 90014

    d

    d
    x

    (
    ln

    (
    5
    )
    )

    d

    d
    x

    (
    ln

    (
    x
    )
    )

    {\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} (\ ln (5)) — {\ frac {d} {dx}} (\ ln (x))}

    90015 90016
    90003 The logarithm of 5 is a constant, so its derivative is 0.The derivative of ln (x) is

    1
    x

    {\ Displaystyle {\ frac {1} {x}}}

    . So,
    90012
    90013 90014

    0

    d

    d
    x

    ln

    (
    x
    )
    =

    1
    x

    {\ Displaystyle 0 — {\ frac {d} {dx}} \ ln (x) = — {\ frac {1} {x}}}

    90015 90016
    90003 For derivatives of logarithms not in base e like

    d

    d
    x

    (

    log

    10


    (
    x
    )
    )

    {\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} (\ log _ {10} (x))}

    , This can be reduced to:

    d

    d
    x

    log

    10


    (
    x
    )
    =

    d

    d
    x

    ln

    x

    ln

    10

    =

    1

    ln

    10

    d

    d
    x

    ln

    x

    =

    1

    x
    ln

    (
    10
    )

    {\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ log _ {10} (x) = {\ frac {d} {dx}} {\ frac {\ ln {x}} {\ ln {10}} } = {\ frac {1} {\ ln {10}}} {\ frac {d} {dx}} \ ln {x} = {\ frac {1} {x \ ln (10)}}}

    90012
    90025 Trigonometric functions [change | change source] 90026
    90003 The cosine function is the derivative of the sine function, while the derivative of cosine is negative sine (provided that x is measured in radians):
    90012
    90013 90014

    d

    d
    x

    sin

    (
    x
    )
    =
    cos

    (
    x
    )

    {\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sin (x) = \ cos (x)}

    90015
    90014

    d

    d
    x

    cos

    (
    x
    )
    =

    sin

    (
    x
    )

    {\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ cos (x) = — \ sin (x)}

    90015
    90014

    d

    d
    x

    sec

    (
    x
    )
    =
    sec

    (
    x
    )
    tan

    (
    x
    )

    {\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sec (x) = \ sec (x) \ tan (x)}

    .90015 90016

    90003 Derivatives can be broken up into smaller parts where they are manageable (as they have only one of the above function characteristics), for example:
    90012
    90013 90014

    d

    d
    x

    (
    3

    x

    6

    +

    x

    2


    6
    )

    {\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} (3x ^ {6} + x ^ {2} -6)}

    can be broken up as such: 90015
    90014

    d

    d
    x

    (
    3

    x

    6

    )
    +

    d

    d
    x

    (

    x

    2

    )

    d

    d
    x

    (
    6
    )

    {\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} (3x ^ {6}) + {\ frac {d} {dx}} (x ^ {2}) — {\ frac {d} {dx}} ( 6)}

    90015
    90014

    =
    6

    3

    x

    5

    +
    2
    x

    0

    {\ Displaystyle = 6 \ cdot 3x ^ {5} + 2x-0}

    90015
    90014

    =
    18

    x

    5

    +
    2
    x

    {\ Displaystyle = 18x ^ {5} + 2x \,}

    90015 90016

    90003 A function’s derivative can be used to search for the maxima and minima of the function by searching for places where its slope is zero.90012 90003 Derivatives are used in Newton’s method which helps find zeros (roots) of a function ..
    90012 90003 Derivative can determine increasing or decreasing and concavity
    90012

    .90000 Derivative Rules 90001

    90002 90003 The Derivative tells us the slope of a function at any point. 90004 90005

    90002 90005
    90002 There are 90009 rules 90010 we can follow to find many derivatives. 90005
    90002 For example: 90005
    90014
    90015 The slope of a 90009 constant 90010 value (like 3) is always 0 90018
    90015 The slope of a 90009 line 90010 like 2x is 2, or 3x is 3 etc 90018
    90015 and so on. 90018
    90025
    90002 Here are useful rules to help you work out the derivatives of many functions (with examples below).Note: the little mark ‘means «Derivative of», and f and g are functions. 90005

    90028
    90029
    90030 Common Functions 90031
    90032 Function 90033 90031
    90032 Derivative 90033 90031
    90038
    90029
    90040 Constant 90041
    90042 c 90041
    90042 0 90041
    90038
    90029
    90040 Line 90041
    90042 x 90041
    90042 1 90041
    90038
    90029
    90040 90041
    90042 ax 90041
    90042 a 90041
    90038
    90029
    90040 Square 90041
    90042 x 90067 2 90068 90041
    90042 2x 90041
    90038
    90029
    90040 Square Root 90041
    90042 √x 90041
    90042 (½) x 90067 -½ 90068 90041
    90038
    90029
    90040 Exponential 90041
    90042 e 90067 x 90068 90041
    90042 e 90067 x 90068 90041
    90038
    90029
    90040 90041
    90042 a 90067 x 90068 90041
    90042 ln (a) a 90067 x 90068 90041
    90038
    90029
    90040 Logarithms 90041
    90042 ln (x) 90041
    90042 1 / x 90041
    90038
    90029
    90040 90041
    90042 log 90119 a 90120 (x) 90041
    90042 1 / (x ln (a)) 90041
    90038
    90029
    90040 Trigonometry (x is in radians) 90041
    90042 sin (x) 90041
    90042 cos (x) 90041
    90038
    90029
    90040 90041
    90042 cos (x) 90041
    90042 -sin (x) 90041
    90038
    90029
    90040 90041
    90042 tan (x) 90041
    90042 sec 90067 2 90068 (x) 90041
    90038
    90029
    90040 Inverse Trigonometry 90041
    90042 sin 90067 -1 90068 (x) 90041
    90042 1 / √ (1-x 90067 2 90068) 90041
    90038
    90029
    90040 90041
    90042 cos 90067 -1 90068 (x) 90041
    90042 -1 / √ (1-x 90067 2 90068) 90041
    90038
    90029
    90040 90041
    90042 tan 90067 -1 90068 (x) 90041
    90042 1 / (1 + x 90067 2 90068) 90041
    90038
    90029
    90040 90041
    90042 90041
    90042 90041
    90038
    90029
    90030 Rules 90031
    90032 Function 90033 90031
    90032 Derivative 90033 90031
    90038
    90029
    90040 Multiplication by constant 90041
    90042 cf 90041
    90042 cf ‘90041
    90038
    90029
    90040 Power Rule 90041
    90042 x 90067 n 90068 90041
    90042 nx 90067 n-1 90068 90041
    90038
    90029
    90040 Sum Rule 90041
    90042 f + g 90041
    90042 f ‘+ g’ 90041
    90038
    90029
    90040 Difference Rule 90041
    90042 f — g 90041
    90042 f ‘- g’ 90041
    90038
    90029
    90040 Product Rule 90041
    90042 fg 90041
    90042 f g ‘+ f’ g 90041
    90038
    90029
    90040 Quotient Rule 90041
    90042 f / g 90041
    90042 (f ‘g — g’ f) / g 90067 2 90068 90041
    90038
    90029
    90040 Reciprocal Rule 90041
    90042 1 / f 90041
    90042 -f ‘/ f 90067 2 90068 90041
    90038
    90029
    90040 90041
    90042 90041
    90042 90041
    90038
    90029
    90040 Chain Rule 90033 (as «Composition of Functions») 90041
    90042 f º g 90041
    90042 (f ‘º g) × g’ 90041
    90038
    90029
    90040 Chain Rule
    (Using ‘) 90041
    90042 f (g (x)) 90041
    90042 f ‘(g (x)) g’ (x) 90041
    90038
    90029
    90040 Chain Rule
    (using
    90296 d 90297
    90298 dx 90299
    ) 90041
    90301
    90296 dy 90297
    90298 dx 90299
    =
    90296 dy 90297
    90298 du 90299

    90296 du 90297
    90298 dx 90299
    90041
    90038
    90316

    90002 «The derivative of» is also written
    90296 d 90297
    90298 dx 90299
    90005
    90002 So
    90296 d 90297
    90298 dx 90299
    sin (x) and sin (x) ‘both mean «The derivative of sin (x)» 90005

    90329 Examples 90330

    90331 Example: what is the derivative of sin (x)? 90332
    90002 From the table above it is listed as being 90009 cos (x) 90010 90005
    90002 It can be written as: 90005
    90002 sin (x) = cos (x) 90005
    90002 Or: 90005
    90002 sin (x) ‘= cos (x) 90005

    90331 Power Rule 90332

    90331 Example: What is x 90067 3 90068? 90332
    90002 The question is asking «what is the derivative of x 90067 3 90068?» 90005
    90002 We can use the Power Rule, where n = 3: 90005
    90002 x 90067 n 90068 = nx 90067 n-1 90068 90005
    90002 x 90067 3 90068 = 3x 90067 3-1 90068 = 90009 3x 90067 2 90068 90010 90005
    90002 (In other words the derivative of x 90067 3 90068 is 3x 90067 2 90068) 90005

    90002 So it is simply this: 90005
    90002 90033 «multiply by power 90033 then reduce power by 1» 90005
    90002 It can also be used in cases like this: 90005

    90331 Example: What is (1 / x)? 90332
    90002 1 / x is also 90009 x 90067 -1 90068 90010 90005
    90002 We can use the Power Rule, where n = -1: 90005
    90002 x 90067 n 90068 = nx 90067 n-1 90068 90005
    90002 x 90067 -1 90068 = -1x 90067 -1-1 90068 90005
    90002 = -x 90067 -2 90068 90005
    90002 = 90296 -1 90297 90298 x 90067 2 90068 90299 90005

    90002 So we just did this: 90005
    90002 90033 which simplifies to 90009 -1 / x 90067 2 90068 90010 90005
    90331 Multiplication by constant 90332

    90331 Example: What is 5x 90067 3 90068? 90332
    90002 the derivative of cf = cf ‘90005
    90002 the derivative of 5f = 5f ‘90005

    90002 We know (from the Power Rule): 90005
    90002 x 90067 3 90068 = 3x 90067 3-1 90068 = 3x 90067 2 90068 90005
    90002 So: 90005
    90002 5x 90067 3 90068 = 5x 90067 3 90068 = 5 × 3x 90067 2 90068 = 90009 15x 90067 2 90068 90010 90005

    90331 Sum Rule 90332

    90331 Example: What is the derivative of x 90067 2 90068 + x 90067 3 90068? 90332
    90002 The Sum Rule says: 90005
    90002 the derivative of f + g = f ‘+ g’ 90005
    90002 So we can work out each derivative separately and then add them.90005
    90002 Using the Power Rule: 90005
    90014
    90015 x 90067 2 90068 = 2x 90018
    90015 x 90067 3 90068 = 3x 90067 2 90068 90018
    90025
    90002 And so: 90005
    90002 the derivative of x 90067 2 90068 + x 90067 3 90068 = 90009 2x + 3x 90067 2 90068 90010 90005

    90331 Difference Rule 90332
    90002 It does not have to be 90009 x 90010, we can differentiate with respect to, for example, 90009 v 90010: 90005

    90331 Example: What is (v 90067 3 90068 -v 90067 4 90068)? 90332
    90002 The Difference Rule says 90005
    90002 the derivative of f — g = f ‘- g’ 90005

    90002 So we can work out each derivative separately and then subtract them.90005

    90002 Using the Power Rule: 90005
    90014
    90015 v 90067 3 90068 = 3v 90067 2 90068 90018

    90015 v 90067 4 90068 = 4v 90067 3 90068 90018
    90025
    90002 And so: 90005
    90002 the derivative of v 90067 3 90068 — v 90067 4 90068 = 90009 3v 90067 2 90068 — 4v 90067 3 90068 90010 90005

    90554
    90331 Sum, Difference, Constant Multiplication And Power Rules 90332

    90002 90005 90331 Product Rule 90332

    90331 Example: What is the derivative of cos (x) sin (x)? 90332
    90002 The Product Rule says: 90005
    90002 the derivative of fg = f g ‘+ f’ g 90005
    90002 In our case: 90005

    90002 We know (from the table above): 90005
    90014
    90015 cos (x) = -sin (x) 90018
    90015 sin (x) = cos (x) 90018
    90025
    90002 So: 90005
    90002 the derivative of cos (x) sin (x) = cos (x) cos (x) — sin (x) sin (x) 90580 90005 90002 = 90009 cos 90067 2 90068 (x) — sin 90067 2 90068 (x) 90010 90005

    90002 90005
    90331 Quotient Rule 90332
    90002 To help you remember: 90005

    90002 (90296 f 90297 90298 g 90299) ‘= 90296 gf’ — fg ‘90297 90298 g 90067 2 90068 90299 90005

    90002 The derivative of «High over Low» is: 90005
    90002 90003 «Low dHigh minus High dLow, over the line and square the Low» 90004 90033 90005

    90331 Example: What is the derivative of cos (x) / x? 90332
    90002 In our case: 90005

    90002 We know (from the table above): 90005

    90002 So: 90005
    90002 the derivative of 90296 cos (x) 90297 90298 x 90299 = 90296 Low dHigh minus High dLow 90297 90298 over the line and square the Low 90299

    90005
    90002 = 90296 x (-sin (x)) — cos (x) (1) 90580 90297 90298 x 90067 2 90068 90299

    90005
    90002 = — 90296 xsin (x) + cos (x) 90580 90297 90298 x 90067 2 90068 90299 90005

    90002 90005
    90331 Reciprocal Rule 90332

    90331 Example: What is (1 / x)? 90332
    90002 The Reciprocal Rule says: 90005
    90002 the derivative of 90296 1 90297 90298 f 90299 = 90296 -f ‘90297 90298 f 90067 2 90068 90299 90005
    90002 90009 With f (x) = x, we know that f ‘(x) = 1 90010 90005
    90002 So: 90005
    90002 the derivative of 90296 1 90297 90298 x 90299 = 90296 -1 90297 90298 x 90067 2 90068 90299 90005
    90002 Which is the same result we got above using the Power Rule.90005

    90331 Chain Rule 90332

    90331 Example: What is
    90296 d 90297
    90298 dx 90299
    sin (x 90067 2 90068)? 90332
    90002 90009 sin (x 90067 2 90068) 90010 is made up of 90009 sin () 90010 and 90009 x 90067 2 90068 90010: 90005

    90002 The Chain Rule says: 90005
    90002 the derivative of f (g (x)) = f ‘(g (x)) g’ (x) 90005
    90002 90580 The individual derivatives are: 90005
    90014
    90015 f ‘(g) = cos (g) 90018
    90015 g ‘(x) = 2x 90018
    90025
    90002 So: 90005
    90002
    90296 d 90297
    90298 dx 90299
    sin (x 90067 2 90068) = cos (g (x)) (2x) 90005
    90002 = 2x cos (x 90067 2 90068) 90005
    90002 Another way of writing the Chain Rule is:
    90296 dy 90297
    90298 dx 90299
    =
    90296 dy 90297
    90298 du 90299

    90296 du 90297
    90298 dx 90299
    90005
    90002 Let’s do the previous example again using that formula: 90005

    90331 Example: What is
    90296 d 90297
    90298 dx 90299
    sin (x 90067 2 90068)? 90332
    90002
    90296 dy 90297
    90298 dx 90299
    =
    90296 dy 90297
    90298 du 90299

    90296 du 90297
    90298 dx 90299
    90005
    90002 Have u = x 90067 2 90068, so y = sin (u): 90005
    90002
    90296 d 90297
    90298 dx 90299 sin (x 90067 2 90068) =
    90296 d 90297
    90005.90000 Derivative rules | Math calculus 90001

    90002 Derivative rules and laws. Derivatives of functions table. 90003

    90004 Derivative definition 90005
    90002 The derivative of a function is the ratio of the difference of
    function value f (x) at points x + Δx and x with
    Δx, when Δx is
    infinitesimally small. The derivative is the function slope or slope
    of the tangent line at point x. 90003
    90002 90003
    90002
    90003
    90004 Second derivative 90005
    90002 The second derivative is given by: 90003
    90002
    90003
    90002 Or simply derive the first derivative: 90003
    90002
    90003
    90004 Nth derivative 90005
    90002 The 90025 n 90026 th derivative is calculated by deriving f (x) n times.90003
    90002 The 90025 n 90026 th derivative is equal to the derivative of the (n-1)
    derivative: 90003
    90002 90025 f 90026 90035 (90025 n 90026) 90038 (90025 x 90026) = [90025 f 90026 90035
    (90025 n 90026 -1) 90038 (90025 x 90026)] ‘90003
    90050 Example: 90051
    90002 Find the fourth derivative of 90003
    90002 90025 f 90026 (90025 x 90026) = 2 90025 x 90026 90035 5 90038 90003
    90002 90025 f 90026 90035 (4) 90038 (90025 x 90026) = [2 90025 x 90026 90035 5 90038] » »
    = [10 90025 x 90026 90035 4 90038] » ‘= [40 90025 x 90026 90035 3 90038]’ ‘= [120 90025 x 90026 90035 2 90038]’
    = 240 90025 x 90026 90003
    90004 Derivative on graph of function 90005
    90002 The derivative of a function is the slop of the tangential line.90003
    90004 Derivative rules 90005

    90004 Derivative sum rule 90005
    90002 When 90025 a 90026 and 90025 b 90026 are constants. 90003
    90002 (90025 a f 90026 (90025 x 90026) + 90025 bg 90026 (90025 x 90026)
    ) ‘= 90025 a f’ 90026 (90025 x 90026) + 90025 bg ‘90026 (90025 x 90026) 90003
    90050 Example: 90051
    90002 Find the derivative of: 90003
    90002 3 90025 x 90026 90035 2 90038 + 4 90025 x. 90026 90003
    90002 According to the sum rule: 90003
    90002 90025 a 90026 = 3, 90025 b 90026 = 4 90003
    90002 90025 f 90026 (90025 x 90026) = 90025 x 90026 90035 2 90038, 90025
    g 90026 (90025 x 90026) = 90025 x 90026 90003
    90002 90025 f ‘90026 (90025 x 90026) = 2 90025 x 90026 90035 90038,
    90025 g ‘90026 (90025 x 90026) = 1 90003
    90002 (3 90025 x 90026 90035 2 90038 + 4 90025 x 90026) ‘= 3⋅2 90025 x 90026 + 4⋅1
    = 6 90025 x 90026 + 4 90003
    90004 Derivative product rule 90005
    90002 (90025 f 90026 (90025 x 90026) ∙ 90025 g 90026 (90025 x 90026)
    ) ‘= 90025 f’ 90026 (90025 x 90026) g (90025 x 90026) + 90025 f 90026 (90025 x 90026) 90025 g ‘90026 (90025 x 90026) 90003
    90004 Derivative quotient rule 90005
    90002
    90003
    90004 Derivative chain rule 90005
    90002 90025 f 90026 (90025 g 90026 (90025 x 90026)) ‘= 90025 f’ 90026 (90025
    g 90026 (90025 x 90026)) ∙ 90025 g ‘90026 (90025 x 90026) 90003
    90002 This rule can be better understood with Lagrange’s notation: 90003
    90002
    90003
    90004 Function linear approximation 90005
    90002 For small Δx, we can get an approximation to
    f (x 90241 0 90242 + Δx), when we know f (x 90241 0 90242) and f ‘(x 90241 0 90242): 90003
    90002 90025 f 90026 (90025 x 90026 90241 0 90242 + Δ 90025 x 90026) ≈ 90025 f 90026
    (90025 x 90026 90241 0 90242) + 90025 f 90026 ‘(90025 x 90026 90241 0 90242) ⋅Δ 90025 x 90026 90003
    90004 Derivatives of functions table 90005
    90274
    90275
    90276 Function name 90277
    90278 Function 90277
    90278 Derivative 90277
    90282
    90275
    90278
    90002 90025 f 90026 (90025 x 90026) 90003 90277
    90278 90025 f 90026 ‘(90025 x 90026) 90277
    90282
    90275
    90300 Constant 90301
    90300
    90002 90025 const 90026 90003 90301
    90300
    90002 0 90003 90301
    90282
    90275
    90300 Linear 90301
    90300
    90002 90025 x 90026 90003 90301
    90300
    90002 1 90003 90301
    90282
    90275
    90300 Power 90301
    90300
    90002 90025 x 90035 a 90038 90026 90003 90301
    90300
    90002 90025 a x 90035 a- 90038 90026 90035 1 90038 90003 90301
    90282
    90275
    90300 Exponential 90301
    90300
    90002 90025 e 90035 x 90038 90026 90003 90301
    90300
    90002 90025 e 90035 x 90038 90026 90003 90301
    90282
    90275
    90300 Exponential 90301
    90300
    90002 90025 a 90035 x 90038 90026 90003 90301
    90300
    90002 90025 a 90035 x 90038 90026 ln 90025 a 90026 90003 90301
    90282
    90275
    90300 Natural logarithm 90301
    90300
    90002 ln (90025 x 90026) 90003 90301
    90300
    90002
    90003 90301
    90282
    90275
    90300 Logarithm 90301
    90300
    90002 log 90025 90241 b 90242 90026 (90025 x 90026) 90003 90301
    90300
    90002
    90003 90301
    90282
    90275
    90300 Sine 90301
    90300
    90002 sin 90025 x 90026 90003 90301
    90300
    90002 cos 90025 x 90026 90003 90301
    90282
    90275
    90300 Cosine 90301
    90300
    90002 cos 90025 x 90026 90003 90301
    90300
    90002 -sin 90025 x 90026 90003 90301
    90282
    90275
    90300 Tangent 90301
    90300
    90002 tan 90025 x 90026 90003 90301
    90300
    90002
    90003 90301
    90282
    90275
    90300 Arcsine 90301
    90300
    90002 arcsin 90025 x 90026 90003 90301
    90300
    90002
    90003 90301
    90282
    90275
    90300 Arccosine 90301
    90300
    90002 arccos 90025 x 90026 90003 90301
    90300
    90002
    90003 90301
    90282
    90275
    90300 Arctangent 90301
    90300
    90002 arctan 90025 x 90026 90003 90301
    90300
    90301
    90282
    90275
    90300 Hyperbolic sine 90301
    90300
    90002 sinh 90025 x 90026 90003 90301
    90300
    90002 cosh 90025 x 90026 90003 90301
    90282
    90275
    90300 Hyperbolic cosine 90301
    90300
    90002 cosh 90025 x 90026 90003 90301
    90300
    90002 sinh 90025 x 90026 90003 90301
    90282
    90275
    90300 Hyperbolic tangent 90301
    90300
    90002 tanh 90025 x 90026 90003 90301
    90300
    90002
    90003 90301
    90282
    90275
    90300 Inverse hyperbolic sine 90301
    90300
    90002 sinh 90035 -1 90038 90025 x 90026 90003 90301
    90300
    90002
    90003 90301
    90282
    90275
    90300 Inverse hyperbolic cosine 90301
    90300
    90002 cosh 90035 -1 90038 90025 x 90026 90003 90301
    90300
    90002
    90003 90301
    90282
    90275
    90300 Inverse hyperbolic tangent 90301
    90300
    90002 tanh 90035 -1 90038 90025 x 90026 90003 90301
    90300
    90002
    90003 90301
    90282
    90603
    90004 Derivative examples 90005
    90050 Example # 1 90051
    90002 90025 f 90026 (90025 x 90026) = 90025 x 90026 90035 3 90038 +5 90025 x 90026 90035 2 90038 + 90025 x 90026 +8 90003
    90002 90025 f ‘90026 (90025 x 90026) = 3 90025 x 90026 90035 2 90038 + 2⋅5 90025 x 90026 + 1 + 0
    = 3 90025 x 90026 90035 2 90038 +10 90025 x 90026 +1 90003
    90050 Example # 2 90051
    90002 90025 f 90026 (90025 x 90026) = sin (3 90025 x 90026 90035 2 90038) 90003
    90002 When applying the chain rule: 90003
    90002 90025 f ‘90026 (90025 x 90026) = cos (3 90025 x 90026 90035 2 90038)
    ⋅ [3 90025 x 90026 90035 2 90038] ‘= cos (3 90025 x 90026 90035 2 90038) ⋅ 6 90025 x 90026 90003
    90004 Second derivative test 90005
    90002 When the first derivative of a function is zero at point x 90241 0 90242.90003
    90002 90025 f 90026 ‘(90025 x 90026 90241 0 90242) = 0 90003
    90002 Then the second derivative at point x 90241 0 90242, f » (x 90241 0 90242), can indicate the type of
    that point: 90003
    90002 90003
    90698
    90275
    90300
    90002 90025 f 90026 » (90025 x 90026 90241 0 90242)> 0 90003 90301
    90300 local minimum 90301
    90282
    90275
    90300
    90002 90025 f 90026 » (90025 x 90026 90241 0 90242) <0 90003 90301 90300 local maximum 90301 90282 90275 90300 90002 90025 f 90026 '' (90025 x 90026 90241 0 90242) = 0 90003 90301 90300 undetermined 90301 90282 90603 90002 90003 90744 90745 See also 90746 .

    Отправить ответ

    avatar
      Подписаться  
    Уведомление о